Soluzioni matematica blu

Considera il punto \(P\) sulla semicirconferenza di diametro \(\overline{AB}=2r\) e poni \(P\widehat{B}A=x\). Sia \(BC\) una semiretta di origine \(B\), con \(C\) che si trova nel semipiano di inizio \(AB\) contenente la semicirconferenza e tale che \(C\widehat{B}A=\dfrac{3}{4}\pi\) e \(\overline{BC}=2r\). Risolvi la disequazione:

\(\overline{PC}^2+{\overline{AP}}^2>2{\overline{AB}}^2\)

\(\mathbf{sol. \left[0<x<\dfrac{\pi}{4}\right]}\)

SoluzioNI

Rappresentazione grafica del problema:

• Limitazione sul valore di \(x\)

Il valore di \(x\) può assumere soltanto i valori compresi nell’intervallo:

$$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$

Calcoli

\(\overline{AB}=2r\)

\(\overline{AP}=2r\ senx\)

\(\overline{PB}=2r\ cosx\)

\(\overline{BC}=2r\)

Applichiamo il teorema del coseno al triangolo \(PBC\):

\(\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{BC}^2-2\ \overline{PB}\ \overline{BC}\ cos\left(\dfrac{3}{4}\pi-x\right)\)

\(\overline{PC}^2=(2r\ cosx)^2+(2r)^2-2\cdot 2r\ cosx \cdot 2r\left[cos\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)cosx+sen\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)senx\right]\)

\(\overline{PC}^2=4r^2\ cos^2x+4r^2-8r^2\ cosx\left[\dfrac{-\sqrt{2}}{2}cosx+\dfrac{\sqrt{2}}{2}senx\right]\)

\(\overline{PC}^2=4r^2\left[cos^2x+1+\sqrt{2}\ cos^2x-\sqrt{2}\ senx\ cosx \right]\)

Noti tutti i termini della disequazione che si vuole provare, procediamo in tal senso:

\(\overline{PC}^2+{\overline{AP}}^2>2{\overline{AB}}^2\)

\(4r^2\left[cos^2x+1+\sqrt{2}\ cos^2x-\sqrt{2}\ senx\ cosx \right]+(2r\ senx)^2>2(2r)^2\)

\(cos^2x+1+\sqrt{2}\ cos^2x-\sqrt{2}\ senx\ cosx + sen^2x>2\)

\(\sqrt{2}\ cos^2x-\sqrt{2}\ senx\ cosx >0\)

\(cosx(cosx-senx)>0\)

Risolvo la disequazione:

\(cosx>0\)

la porzione colorata corrisponde all’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, per cui:

\(cosx>0 \hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} -\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}\)

\(cosx-senx>0 \hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} 1-tang(x)>0\)

\(tang(x)<1\)

la porzione colorata corrisponde all’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, per cui:

\(tang(x)<1\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm}-\dfrac{\pi}{2}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Eseguo il prodotto dei segni:

quindi la ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative vale:

\(-\dfrac{5}{4}\pi+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)

tenendo conto della limitazione:

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1. Algebra
2. Geometria analitica
3. Trigonometria
4. Geometria piana
5. Geometria solida
6. Calcolo differenziale
7. Calcolo integrale
8. Equazioni differenziali
9. Statistica
10. Probabilità

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Matematica Blu è un libro di testo di matematica per studenti di scuola media. Il libro è diviso in cinque capitoli, ognuno dei quali copre un’area specifica della matematica. Il primo capitolo, “Numeri e operazioni”, introduce i concetti di numeri interi, frazioni, decimali e operazioni matematiche di base come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.

Il secondo capitolo, “Algebra”, copre argomenti in che modo le equazioni, le disequazioni, le funzioni e le proprietà delle operazioni algebriche. Il terzo sezione, “Geometria”, si concentra sulla geometria piana e solida, compresi i concetti di angoli, triangoli, quadrilateri, cerchi, sfere e piramidi.

Il quarto sezione, “Trigonometria”, introduce i concetti di seno, coseno e tangente e come applicarli per risolvere problemi di triangoli. Infine, il quinto sezione, “Statistica e probabilità”, copre argomenti in che modo l’analisi dei credo che i dati affidabili guidino le scelte giuste, la probabilità e le distribuzioni di probabilità.

1. L’introduzione alla statistica fornisce una panoramica dei concetti di base della statistica, come la media, la mediana e la moda.
2. L’analisi dei dati copre tecniche come la raccolta dei dati, la rappresentazione grafica dei dati e l’interpretazione dei dati.
3. La probabilità introduce i concetti di probabilità e come calcolarli.
4. Le distribuzioni di probabilità coprono le distribuzioni di probabilità discrete e continue.
5. La stima e l’inferenza statistica coprono tecniche come la stima del parametro e l’intervallo di confidenza.

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